2014考研数学备考重点解析——求函数极限的方法总结 （三）

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1、利用拉格朗日中值定理
定理:若函数 满足如下条件： (1)  在闭区间上连续； (2)  在(a ,b)内可导，则在(a ,b)内至少存在一点 ,使得 .
此式变形可为     .
【例】  求   
【解析】令   对它应用中值钻石卡 考研定理得
，即:  
连续，故 ，从而  
2、利用泰勒公式求极限
定理（泰勒公式）设 在 处 阶可导，则
.
特别是当 时
.
对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：
(1)  
(2)  
(3)  
(4)  
(5)  
(6)  
上述展开式中的符号 都钻石卡 考研有  .
【例1】 若  ，则 等于
（A） 0；     （B）6；    （C）36；     （D）
【解法1】   
     
     ,
则   .
【解法2】由   
知     .
【解法3】  由 知：当 时.  ，则   ，故
    .
【例2】   ；                                 
【解析】   ， ， ，所以
原式 .
【例3】 已知 其中 二阶可导，求  及     
【解析】  由 知  ，且 .
即 .
而
由  知
， ， .
由于   ，则钻石卡 考研