2014考研数学备考重点解析——有关线性方程组解的结构的证明

2961700447

基本概念
1. 齐次线性方程组
2. 非齐次线性方程组  （ ）
3. 齐次线性方程组的基础解系
是 的解，满足(1)  线性无关；(2)  的任何一解都可由  线性表示。
4. 齐次线性方程组 的通解
  ，   
5. 非齐次线性方程组 的通解
     .
基本原理和公式
1. 个未知数的齐次方程组 有非零解的考研英语真题充分必要条件是 .
2.  个未知数的非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是系数矩阵 的秩等于增广矩阵 的秩。且当 时，方程组有唯一解，当R(A)=R(B)=r<n时方程组有无穷多个解。
3. 若 为 的解，则  也是 的解。
4. 若 是 的解，  ，则 是 的解。
5. 若 是 的两个解，则 是 的解。
6. 若  是 的解， 是 的解，则  是 的解。
7.  元齐次线性方程组  的全体解所构成的集合 的一个向量空间，当系数矩阵的秩 时，解空间是 维的。
【例1】   已知 元非齐次方程组 有解 .
(1)证明 有4个线性无关的解.
(2)证明 的任何5个解都线性相关.   ( 元非齐次方程组 有解时,解集合的秩 .)
【解析】  (1)设 是 的一个解
是 的基础的解系， 线性无关，而 不可用 线性表示，从而这个向量线性无关.
易见
它们的秩相等，为 ，从而 也无关，它们都是 的解.
(2) 设 都是 的解，则它们考研英语真题都可用(1)中的 这4个向量表示，所以必相关.
【例2】  设    为 的基础解系，问 为何值时， ， ， 也为 的基础解系。
分析  线性无关，且 与 等价.
【解析】 对 作初等行变换，有
=
  
，即  此时 线考研英语真题性无关，且 均可由 线性表示，可见 为 的解。

，可见 时， 线性无关。
故当 时， 为 的基础解系。